Holonomia i foliacje singularne
Ocena użytkowników: 0 / 5
Holonomia sprawdza się jako skuteczne narzędzie w badaniu ruchu nieswobodnego, w którym obiekt ma poruszać się w większej liczbie wymiarów, niż jest to dozwolone. Matematycy korzystający ze wsparcia środków unijnych rozszerzyli zastosowanie holonomii z foliacji regularnych na foliacje singularne.
Rozmaitość podzielona na podrozmaitości nazywana jest rozmaitością z foliacją. Foliacje występują przy rozwiązywaniu równań różniczkowych w różnych dziedzinach matematyki, w tym w fizyce matematycznej czy teorii sterowania, dotyczącej zachowania się układów dynamicznych.
Choć "regularne" foliacje są dokładnie zbadane, to większość foliacji ma charakter patologiczny. Te foliacje singularne, występujące w rozmaitościach jako podmoduł ściśle upakowanych pól wektorowych, były przedmiotem badań prowadzonych w ramach projektu NCGSF (Noncommutative geometry for singular foliations).
Uczeni sformułowali hipotezę Bauma-Connesa dla dowolnej foliacji singularnej. Zgodnie z tym hipotetycznym uogólnieniem twierdzenia Atiyaha-Singera czysto typologiczne obiekty koincydują z obiektami czysto analitycznymi. Jego udowodnienie było możliwie dzięki skonstruowaniu tzw. patologicznego grupoidu holonomicznego.
Grupoid holonomiczny to struktura matematyczna śledząca symetrie foliacji. Był to najważniejszy element części analitycznej twierdzenia Bauma-Connesa. Dokładniej mówiąc, uczeni wprowadzili pojęcie transformacji holonomicznej, odpowiednika dyfeomorfizmu.
Do stworzenia części geometrycznej naukowcy wykorzystali model LeGalla-Tu. Najpierw jednak trzeba było zdefiniować warunki gwarantujące wzdłużną gładkość grupoidu holonomicznego. Dopiero wówczas możliwe było sformułowanie modelu normalnej formy regularnej rozmaitości z foliacją wokół kompaktowego "liścia".
Metodologia zastosowana w projekcie NCGSF została opisana w szeregu publikacji na łamach międzynarodowych czasopism naukowych. Wykorzystuje ona zdobycze wcześniejszych badań prowadzonych przez tych samych naukowców, którzy udoskonalili ją, tworząc grupoid holonomiczny dowolnej foliacji singularnej.
Choć "regularne" foliacje są dokładnie zbadane, to większość foliacji ma charakter patologiczny. Te foliacje singularne, występujące w rozmaitościach jako podmoduł ściśle upakowanych pól wektorowych, były przedmiotem badań prowadzonych w ramach projektu NCGSF (Noncommutative geometry for singular foliations).
Uczeni sformułowali hipotezę Bauma-Connesa dla dowolnej foliacji singularnej. Zgodnie z tym hipotetycznym uogólnieniem twierdzenia Atiyaha-Singera czysto typologiczne obiekty koincydują z obiektami czysto analitycznymi. Jego udowodnienie było możliwie dzięki skonstruowaniu tzw. patologicznego grupoidu holonomicznego.
Grupoid holonomiczny to struktura matematyczna śledząca symetrie foliacji. Był to najważniejszy element części analitycznej twierdzenia Bauma-Connesa. Dokładniej mówiąc, uczeni wprowadzili pojęcie transformacji holonomicznej, odpowiednika dyfeomorfizmu.
Do stworzenia części geometrycznej naukowcy wykorzystali model LeGalla-Tu. Najpierw jednak trzeba było zdefiniować warunki gwarantujące wzdłużną gładkość grupoidu holonomicznego. Dopiero wówczas możliwe było sformułowanie modelu normalnej formy regularnej rozmaitości z foliacją wokół kompaktowego "liścia".
Metodologia zastosowana w projekcie NCGSF została opisana w szeregu publikacji na łamach międzynarodowych czasopism naukowych. Wykorzystuje ona zdobycze wcześniejszych badań prowadzonych przez tych samych naukowców, którzy udoskonalili ją, tworząc grupoid holonomiczny dowolnej foliacji singularnej.
Źródło: http://nauka.studentnews.pl/s/3915/76454-Matematyka-i-statystyka/4084488-Holonomia-i-foliacje-singularne.html
